Java算法题-解析 "最大矩形" 算法问题

题目：

给定一个由 '1'（陆地）和 '0'（水域）组成的二维矩阵 matrix，找到只包含 '1' 的最大矩形，并返回其面积。

引言：

"最大矩形" 是一个关于二维矩阵和栈的问题。解决这个问题需要对栈的应用有一定的理解，同时需要找到一种方法来在每一行计算最大矩形的面积。通过解答这个问题，我们可以提升对二维矩阵操作、栈的应用以及问题求解的能力。

算法思路：

为了找到只包含 '1' 的最大矩形，我们可以将问题转化为 "Largest Rectangle in Histogram" 问题。具体思路如下：

1. 对每一行进行处理，将当前行及之前的行看作一个直方图，其中每个元素表示从当前行开始连续的 '1' 的数量。将当前行的元素按列累加到之前的行元素上，形成一个累加矩阵。
2. 对每一行的累加矩阵，将每一行看作一个直方图，计算该行的 "Largest Rectangle in Histogram"，并更新最大矩形面积。

代码实现：

以下是使用 Java 实现的 "最大矩形" 算法的示例代码：

import java.util.Stack;

public class MaximalRectangle {
    public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
        if (matrix == null || matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0) {
            return 0;
        }
        
        int rows = matrix.length;
        int cols = matrix[0].length;
        int[] heights = new int[cols];
        int maxArea = 0;
        
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            for (int j = 0; j < cols; j++) {
                if (matrix[i][j] == '1') {
                    heights[j] += 1;
                } else {
                    heights[j] = 0;
                }
            }
            maxArea = Math.max(maxArea, largestRectangleArea(heights));
        }
        
        return maxArea;
    }
    
    private int largestRectangleArea(int[] heights) {
        Stack<Integer> stack = new Stack<>();
        int maxArea = 0;

        for (int i = 0; i <= heights.length; i++) {
            int height = (i == heights.length) ? 0 : heights[i];

            while (!stack.isEmpty() && height < heights[stack.peek()]) {
                int h = heights[stack.pop()];
                int w = stack.isEmpty() ? i : i - stack.peek() - 1;
                maxArea = Math.max(maxArea, h * w);
            }
            stack.push(i);
        }

        return maxArea;
    }
}

算法分析：

• 时间复杂度：遍历整个矩阵，对每行进行处理，以及对每行进行 "Largest Rectangle in Histogram" 计算，所以时间复杂度为 O(rows * cols)，其中 rows 是矩阵的行数，cols 是矩阵的列数。
• 空间复杂度：算法使用了一个栈和一个数组，所以空间复杂度为 O(cols)。

示例和测试：

假设给定二维矩阵 matrix 如下：

[  ["1","0","1","0","0"],
  ["1","0","1","1","1"],
  ["1","1","1","1","1"],
  ["1","0","0","1","0"]
]

根据算法，最大的矩形面积为 6，对应的矩形为左上角的 '1' 组成的矩形。

我们可以使用以下代码进行测试：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        MaximalRectangle solution = new MaximalRectangle();
        char[][] matrix = {
            {'1','0','1','0','0'},
            {'1','0','1','1','1'},
            {'1','1','1','1','1'},
            {'1','0','0','1','0'}
        };
        int maxArea = solution.maximalRectangle(matrix);

        System.out.println("Maximal rectangle area: " + maxArea);
    }
}

总结：

"最大矩形" 算法题要求找到只包含 '1' 的最大矩形面积，是一个关于二维矩阵和栈的问题。通过实现这个算法，我们可以提升对二维矩阵操作和栈的应用的考虑，同时也能拓展问题求解的能力。这个问题通过将二维矩阵转化为 "Largest Rectangle in Histogram" 问题进行求解，强调了如何将问题转化为已知问题的解决方法。