Java算法题-解析 "N 皇后 II" 算法问题

题目:
给定一个整数 n,返回 n 皇后问题的解决方案数量。
引言:
"N 皇后 II" 是 "N 皇后问题" 的一个变体,要求计算不同解决方案的数量。解决这个问题需要找到一种方法来直接计算解决方案的数量,而不使用回溯算法。通过解答这个问题,我们可以拓展对排列问题的应用,同时也能学习到一种不同于传统回溯方法的解决方案。
算法思路:
我们可以使用动态规划的方法来解决 "N 皇后 II" 问题。具体思路如下:
- 创建一个长度为 n 的数组
dp
,其中dp[i]
表示在第 i 行放置皇后的不同解决方案数量。 - 初始时,
dp[0]
设置为 1,表示在第 0 行放置 1 个皇后的方案数量。 - 对于每一行 i,遍历前面的行 j(0 到 i-1),根据不同的列位置放置皇后,计算能够得到的新方案数量并累加到
dp[i]
上。 dp[n-1]
就是我们需要的结果,表示在第 n-1 行放置皇后的不同解决方案数量。
代码实现:
以下是使用 Java 实现的 "N 皇后 II" 算法的示例代码:
public class NQueensII {
public int totalNQueens(int n) {
int[] dp = new int[n];
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < i; j++) {
if (isValid(dp, i, j)) {
dp[i] += dp[j];
}
}
}
return dp[n - 1];
}
private boolean isValid(int[] dp, int row, int col) {
for (int i = 0; i < row; i++) {
if (dp[i] == col || Math.abs(dp[i] - col) == Math.abs(i - row)) {
return false;
}
}
return true;
}
}
算法分析:
- 时间复杂度:双重循环遍历所有的行和列,所以时间复杂度为 O(n^2)。
- 空间复杂度:只需要一个数组
dp
来存储每行的解决方案数量,所以空间复杂度为 O(n)。
示例和测试:
假设要求解 4 皇后问题的解决方案数量,根据算法,结果为 2。
我们可以使用以下代码进行测试:
public class Main {
public static void main(String[] args) {
NQueensII solution = new NQueensII();
int n = 4;
int result = solution.totalNQueens(n);
System.out.println("Total solutions: " + result);
}
}
总结:
"N 皇后 II" 算法题要求计算 n 皇后问题的解决方案数量,是 "N 皇后问题" 的一个变体。通过实现这个算法,我们可以拓展对排列问题的应用,同时也能学习到一种不同于传统回溯方法的解决方案。这个问题强调了如何使用动态规划来直接计算解决方案的数量,避免了回溯的过程。