题目:

给定一个整数 n,返回 n 皇后问题的解决方案数量。

引言:

"N 皇后 II" 是 "N 皇后问题" 的一个变体,要求计算不同解决方案的数量。解决这个问题需要找到一种方法来直接计算解决方案的数量,而不使用回溯算法。通过解答这个问题,我们可以拓展对排列问题的应用,同时也能学习到一种不同于传统回溯方法的解决方案。

算法思路:

我们可以使用动态规划的方法来解决 "N 皇后 II" 问题。具体思路如下:

  1. 创建一个长度为 n 的数组 dp,其中 dp[i] 表示在第 i 行放置皇后的不同解决方案数量。
  2. 初始时,dp[0] 设置为 1,表示在第 0 行放置 1 个皇后的方案数量。
  3. 对于每一行 i,遍历前面的行 j(0 到 i-1),根据不同的列位置放置皇后,计算能够得到的新方案数量并累加到 dp[i] 上。
  4. dp[n-1] 就是我们需要的结果,表示在第 n-1 行放置皇后的不同解决方案数量。

代码实现:

以下是使用 Java 实现的 "N 皇后 II" 算法的示例代码:

public class NQueensII {
    public int totalNQueens(int n) {
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (isValid(dp, i, j)) {
                    dp[i] += dp[j];
                }
            }
        }

        return dp[n - 1];
    }

    private boolean isValid(int[] dp, int row, int col) {
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (dp[i] == col || Math.abs(dp[i] - col) == Math.abs(i - row)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

算法分析:

  • 时间复杂度:双重循环遍历所有的行和列,所以时间复杂度为 O(n^2)。
  • 空间复杂度:只需要一个数组 dp 来存储每行的解决方案数量,所以空间复杂度为 O(n)。

示例和测试:

假设要求解 4 皇后问题的解决方案数量,根据算法,结果为 2。

我们可以使用以下代码进行测试:

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        NQueensII solution = new NQueensII();
        int n = 4;
        int result = solution.totalNQueens(n);

        System.out.println("Total solutions: " + result);
    }
}

总结:

"N 皇后 II" 算法题要求计算 n 皇后问题的解决方案数量,是 "N 皇后问题" 的一个变体。通过实现这个算法,我们可以拓展对排列问题的应用,同时也能学习到一种不同于传统回溯方法的解决方案。这个问题强调了如何使用动态规划来直接计算解决方案的数量,避免了回溯的过程。

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