Java算法题-解析 "N 皇后问题" 算法问题
题目:
给定一个整数 n,返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。
引言:
"N 皇后问题" 是一个关于回溯算法和状态空间搜索的经典问题。解决这个问题需要对回溯算法、递归和状态空间搜索有深刻理解,同时需要找到一种方法来排列皇后,使得它们不会互相攻击。通过解答这个问题,我们可以提升对回溯算法、状态空间搜索和问题规模的考虑,同时也能拓展对排列问题的应用。
算法思路:
我们可以使用回溯算法来解决 "N 皇后问题"。具体思路如下:
- 创建一个长度为 n 的一维数组
queens
,用来存储每行皇后的列位置。 - 使用递归回溯的方法,在每一行选择一个合适的列位置放置皇后,并进行下一行的递归。
- 在递归中,需要判断当前位置是否与之前已放置皇后的位置冲突,即是否在同一列、同一对角线上。
- 当放置的皇后数等于 n 时,表示找到一个有效解,将结果添加到解集中。
- 回溯时,需要撤销之前放置的皇后,继续尝试其他位置。
代码实现:
以下是使用 Java 实现的 "N 皇后问题" 算法的示例代码:
import java.util.*;
public class NQueens {
public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
List<List<String>> result = new ArrayList<>();
int[] queens = new int[n];
Arrays.fill(queens, -1);
backtrack(queens, 0, result);
return result;
}
private void backtrack(int[] queens, int row, List<List<String>> result) {
int n = queens.length;
if (row == n) {
result.add(generateSolution(queens));
return;
}
for (int col = 0; col < n; col++) {
if (isValid(queens, row, col)) {
queens[row] = col;
backtrack(queens, row + 1, result);
queens[row] = -1;
}
}
}
private boolean isValid(int[] queens, int row, int col) {
for (int i = 0; i < row; i++) {
if (queens[i] == col || Math.abs(queens[i] - col) == Math.abs(i - row)) {
return false;
}
}
return true;
}
private List<String> generateSolution(int[] queens) {
List<String> solution = new ArrayList<>();
int n = queens.length;
for (int row = 0; row < n; row++) {
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int col = 0; col < n; col++) {
sb.append(queens[row] == col ? 'Q' : '.');
}
solution.add(sb.toString());
}
return solution;
}
}
算法分析:
- 时间复杂度:回溯算法需要遍历状态空间,总的状态数是 O(n^n)。在每个状态中,需要 O(n) 的时间来判断当前位置是否合法,所以总时间复杂度为 O(n^n * n)。
- 空间复杂度:需要使用递归的栈空间,所以空间复杂度为 O(n)。
示例和测试:
假设要解决 4 皇后问题,根据算法,一个可能的解决方案为
[
[".Q..", // Solution 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // Solution 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
我们可以使用以下代码进行测试:
import java.util.List;
public class Main {
public static void main(String[] args) {
NQueens solution = new NQueens();
int n = 4;
List<List<String>> result = solution.solveNQueens(n);
System.out.println("Solution:");
for (List<String> solutionRow : result) {
for (String row : solutionRow) {
System.out.println(row);
}
System.out.println();
}
}
}
总结:
"N 皇后问题" 算法题要求在一个 n × n 的棋盘上放置 n 个皇后,使得它们互相不攻击,是一个考察回溯算法和状态空间搜索的问题。通过实现这个算法,我们可以提升对回溯算法、递归和问题规模的考虑,同时也能拓展对状态空间搜索和排列问题的应用。这个问题强调了如何使用递归回溯的方法,依次尝试不同的位置放置皇后,并通过合法性判断来得到有效的解。