Java算法题-解析 "N 皇后问题" 算法问题

题目：

给定一个整数 n，返回所有不同的 n 皇后问题的解决方案。

引言：

"N 皇后问题" 是一个关于回溯算法和状态空间搜索的经典问题。解决这个问题需要对回溯算法、递归和状态空间搜索有深刻理解，同时需要找到一种方法来排列皇后，使得它们不会互相攻击。通过解答这个问题，我们可以提升对回溯算法、状态空间搜索和问题规模的考虑，同时也能拓展对排列问题的应用。

算法思路：

我们可以使用回溯算法来解决 "N 皇后问题"。具体思路如下：

1. 创建一个长度为 n 的一维数组 queens，用来存储每行皇后的列位置。
2. 使用递归回溯的方法，在每一行选择一个合适的列位置放置皇后，并进行下一行的递归。
3. 在递归中，需要判断当前位置是否与之前已放置皇后的位置冲突，即是否在同一列、同一对角线上。
4. 当放置的皇后数等于 n 时，表示找到一个有效解，将结果添加到解集中。
5. 回溯时，需要撤销之前放置的皇后，继续尝试其他位置。

代码实现：

以下是使用 Java 实现的 "N 皇后问题" 算法的示例代码：

import java.util.*;

public class NQueens {
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        List<List<String>> result = new ArrayList<>();
        int[] queens = new int[n];
        Arrays.fill(queens, -1);
        backtrack(queens, 0, result);
        return result;
    }

    private void backtrack(int[] queens, int row, List<List<String>> result) {
        int n = queens.length;
        if (row == n) {
            result.add(generateSolution(queens));
            return;
        }

        for (int col = 0; col < n; col++) {
            if (isValid(queens, row, col)) {
                queens[row] = col;
                backtrack(queens, row + 1, result);
                queens[row] = -1;
            }
        }
    }

    private boolean isValid(int[] queens, int row, int col) {
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (queens[i] == col || Math.abs(queens[i] - col) == Math.abs(i - row)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

    private List<String> generateSolution(int[] queens) {
        List<String> solution = new ArrayList<>();
        int n = queens.length;
        for (int row = 0; row < n; row++) {
            StringBuilder sb = new StringBuilder();
            for (int col = 0; col < n; col++) {
                sb.append(queens[row] == col ? 'Q' : '.');
            }
            solution.add(sb.toString());
        }
        return solution;
    }
}

算法分析：

• 时间复杂度：回溯算法需要遍历状态空间，总的状态数是 O(n^n)。在每个状态中，需要 O(n) 的时间来判断当前位置是否合法，所以总时间复杂度为 O(n^n * n)。
• 空间复杂度：需要使用递归的栈空间，所以空间复杂度为 O(n)。

示例和测试：

假设要解决 4 皇后问题，根据算法，一个可能的解决方案为

[
 [".Q..",  // Solution 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // Solution 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

我们可以使用以下代码进行测试：

import java.util.List;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        NQueens solution = new NQueens();
        int n = 4;
        List<List<String>> result = solution.solveNQueens(n);

        System.out.println("Solution:");
        for (List<String> solutionRow : result) {
            for (String row : solutionRow) {
                System.out.println(row);
            }
            System.out.println();
        }
    }
}

总结：

"N 皇后问题" 算法题要求在一个 n × n 的棋盘上放置 n 个皇后，使得它们互相不攻击，是一个考察回溯算法和状态空间搜索的问题。通过实现这个算法，我们可以提升对回溯算法、递归和问题规模的考虑，同时也能拓展对状态空间搜索和排列问题的应用。这个问题强调了如何使用递归回溯的方法，依次尝试不同的位置放置皇后，并通过合法性判断来得到有效的解。