Java算法题-解析不同的子序列问题

题目

给定两个字符串 s 和 t，请计算 t 中有多少种不同的子序列，这些子序列可以由 s 重新排列得到。由于答案可能很大，只需返回结果对 10^9 + 7 取模的值。

引言

不同的子序列问题是一个常见的字符串处理问题。在解决这个问题时，我们需要计算 t 中有多少种不同的子序列，这些子序列可以由 s 重新排列得到。这个问题可以使用动态规划来解决。

算法思路

1. 创建一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示字符串 s 的前 i 个字符可以组成字符串 t 的前 j 个字符的不同子序列数。
2. 初始化 dp[0][0] = 1，表示空字符串可以组成空字符串的子序列，其他初始值为 0。

3. 遍历i从1到s.length()，遍历j从1到t.length()：

   • 如果 s[i-1] 等于 t[j-1]，则可以选择使用或不使用 s[i-1] 来组成 t[j-1]，因此 dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]。
   • 如果 s[i-1] 不等于 t[j-1]，则不能使用 s[i-1] 来组成 t[j-1]，因此 dp[i][j] = dp[i-1][j]。
4. 最终结果存储在 dp[s.length()][t.length()] 中，表示字符串 s 可以组成字符串 t 的不同子序列数。

代码实现

以下是使用 Java 实现的解决方案：

public class DistinctSubsequences {
    public int distinctSubseqII(String s) {
        int MOD = 1000000007;
        int n = s.length();
        long[] dp = new long[n + 1];
        dp[0] = 1;
        long[] last = new long[26];
        Arrays.fill(last, -1);

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i] = (dp[i - 1] * 2) % MOD;
            if (last[s.charAt(i - 1) - 'a'] != -1) {
                dp[i] -= dp[last[s.charAt(i - 1) - 'a'] - 1];
            }
            dp[i] = (dp[i] + MOD) % MOD;
            last[s.charAt(i - 1) - 'a'] = i;
        }

        dp[n]--;
        if (dp[n] < 0) {
            dp[n] += MOD;
        }
        
        return (int) dp[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        DistinctSubsequences solution = new DistinctSubsequences();
        String s = "abcabc";
        int result = solution.distinctSubseqII(s);
        System.out.println("不同的子序列数: " + result);
    }
}

算法分析

• 时间复杂度：遍历两个字符串 s 和 t，所以时间复杂度是O(m*n)，其中m是字符串 s 的长度，n是字符串 t 的长度。
• 空间复杂度：使用了一个大小为26的数组 last 和一个长度为 n+1 的数组 dp，所以空间复杂度是O(26 + n + 1) = O(n)。

示例和测试

假设给定一个示例字符串 s，如下所示：

s = "abcabc"

根据算法，我们可以计算 t 中有多少种不同的子序列，这些子序列可以由 s 重新排列得到。我们可以使用以下代码进行测试：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        DistinctSubsequences solution = new DistinctSubsequences();
        String s = "abcabc";
        int result = solution.distinctSubseqII(s);
        System.out.println("不同的子序列数: " + result);
    }
}

总结

不同的子序列问题要求计算一个字符串中有多少种不同的子序列，这些子序列可以由另一个字符串重新排列得到。我们使用动态规划来解决这个问题，定义一个二维数组 dp 来保存中间结果，遍历两个字符串并填充 dp 数组，最终结果存储在 dp[s.length()][t.length()] 中。这个问题的时间复杂度是O(m*n)，空间复杂度是O(n)。解决这个问题有助于理解动态规划在字符串处理中的应用。