C语言算法-解答N皇后 II问题的C语言实现

题目:

N皇后问题是将N个皇后放置在N×N的棋盘上，使得皇后彼此之间不能相互攻击（即任意两个皇后不能处于同一行、同一列或同一对角线上）。求所有合法的放置方式的数量。

引言:

N皇后问题是一个经典的组合问题，要求在N×N的棋盘上放置N个皇后，使得每个皇后都不会互相攻击。本文将使用非回溯算法来解答N皇后 II问题，并给出C代码实现。我们会详细介绍算法思路，并进行代码实现、算法分析、示例和测试、总结。

算法思路:

为了解决N皇后 II问题，我们可以使用位运算来进行快速计算。

具体算法步骤如下：

1. 初始化一个整数upperLim，用于限制搜索的位数，为2的N次方减1（例如，当N为8时，upperLim为0b11111111，共8个1）。
2. 创建一个整数count，用于记录合法的放置方式数量。
3. 使用迭代的方式，从第一行开始到最后一行，分别寻找可放置皇后的位置。
4. 在每一行中，使用位运算得到可放置皇后的位置，即通过upperLim与已经放置的皇后进行与运算，得到可以放置皇后的空位。
5. 当当前行的可放置皇后的位置不为0时，对可放置皇后的位置逐位进行搜索，将当前皇后放置在该位置，然后继续放置下一行的皇后。
6. 当所有皇后都放置完毕时，将count递增，表示找到了一种合法的放置方式。
7. 最后返回count，即所有合法放置方式的数量。

代码实现:

#include <stdio.h>

int totalNQueens(int N) {
    int upperLim = (1 << N) - 1; // 限制搜索位数
    int count = 0; // 合法放置方式的数量

    // 迭代每一行，从第一行到最后一行
    for (int row = 0; row < N; row++) {
        count = solveNQueensRecursive(N, upperLim, row, 0, 0, count);
    }

    return count;
}

int solveNQueensRecursive(int N, int upperLim, int row, int ld, int rd, int count) {
    if (row == N) {
        count++;
        return count;
    }

    int pos = upperLim & ~(ld | rd);
    while (pos) {
        int p = pos & -pos; // 取最低位的1
        pos -= p;
        count = solveNQueensRecursive(N, upperLim, row + 1, (ld | p) << 1, (rd | p) >> 1, count);
    }

    return count;
}

算法分析:

1. 时间复杂度：算法的时间复杂度为O(N!)，因为在非回溯算法中，需要对每一行的位置进行搜索。
2. 空间复杂度：算法的空间复杂度为O(N)，因为只使用了常数级别的额外空间。

示例和测试:

示例1:

输入: N = 4
输出: 2
解释: 4皇后问题共有两种解法。

总结:

通过位运算和迭代的方式，我们用C语言实现了解决N皇后 II问题的代码，避免了使用回溯算法。N皇后 II问题是N皇后问题的一个变体，通过本文的解答，希望能帮助你理解利用位运算来解决组合问题的思路和方法。