题目:输入两个正整数m和n,求其最大公约数和最小公倍数。

程序分析:

(1)最小公倍数 = 输入的两个数之积除于它们的最大公约数,关键是求出最大公约数;

(2)求最大公约数用辗转相除法(又名欧几里德算法):

1)证明:设c是a和b的最大公约数,记为c=gcd(a,b),a>=b, 令r=a mod b, 设a=kc,b=jc,则k,j互素,否则c不是最大公约数。 根据上述,r=a-mb=kc-mjc=(k-mj)c。 可知r也是c的倍数,且k-mj与j互素,否则与前述k,j互素矛盾, 由此可知,b与r的最大公约数也是c,即gcd(a,b)=gcd(b,a mod b),得证。

2)算法描述:

第一步:a ÷ b,令r为所得余数(0≤r<b)。 第二步:互换:置 a←b,b←r,并返回第一步。

实例

#include<stdio.h>

int main() {
    int a, b, t, r, n;
    
    printf("请输入两个数字:\n");
    scanf("%d %d", &a, &b);
    
    if(a < b) {
        t = b;
        b = a;
        a = t;
    }
    
    r = a % b;
    n = a * b;
    
    while(r != 0) {
        a = b;
        b = r;
        r = a % b;
    }
    
    printf("这两个数的最大公约数是%d,最小公倍数是%d\n", b, n / b);
    
    return 0;
}

以上实例输出结果为:

请输入两个数字:
12 26
这两个数的最大公约数是2,最小公倍数是156

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