Java算法题-解析回文分割II问题

题目

在这个算法题中，我们将解决如何找到将字符串分割成回文子串的最小切割次数的问题。回文子串是指正读和反读都相同的字符串片段。

引言

解决回文分割II问题需要一种动态规划的方法，该方法可以帮助我们计算出每个位置的最小切割次数，并逐步构建最优解。

算法思路

解决回文分割II问题的核心思想是使用动态规划来计算以每个字符为结束的子串的最小切割次数。具体步骤如下：

1. 创建一个一维数组 minCuts，其中 minCuts[i] 表示从字符串的第 i 个位置到字符串末尾的子串的最小切割次数。
2. 初始化 minCuts 为递增序列 0, 1, 2, ...，表示初始状态下每个字符都需要切割。
3. 遍历字符串中的每个位置 i，从 i 开始向左扩展，同时从 i 开始向右扩展，检查以 i 为中心的子串是否是回文串。如果是回文串，则更新 minCuts[i]。
4. 继续遍历，直到计算出 minCuts[0]，即整个字符串的最小切割次数。

详细步骤如下：

• 创建一个长度为 n 的数组 minCuts，初始化为 [0, 1, 2, ..., n-1]，表示初始状态下每个字符都需要切割。
• 遍历字符串的每个字符，以当前字符为中心，向两边扩展，判断是否是回文串。
• 如果是回文串，更新 minCuts[i+j]，其中 j 表示当前回文串的长度，将其值设置为 min(minCuts[i+j], minCuts[i-j] + 1)。
• 继续遍历，直到计算出 minCuts[0]，即整个字符串的最小切割次数。

代码实现

以下是使用 Java 实现的解决方案：

public class PalindromePartitioningII {
    public int minCut(String s) {
        int n = s.length();
        boolean[][] isPalindrome = new boolean[n][n];
        int[] minCuts = new int[n];

        for (int i = 0; i < n; i++) {
            minCuts[i] = i; // 最坏情况下，每个字符都需要切割
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j) && (i - j <= 1 || isPalindrome[j + 1][i - 1])) {
                    isPalindrome[j][i] = true;
                    if (j == 0) {
                        minCuts[i] = 0; // 整个子串都是回文串，不需要切割
                    } else {
                        minCuts[i] = Math.min(minCuts[i], minCuts[j - 1] + 1);
                    }
                }
            }
        }

        return minCuts[n - 1];
    }
}

算法分析

• 时间复杂度：外层循环遍历字符串的每个位置，内层循环遍历所有可能的中心位置，因此时间复杂度为 O(N^2)，其中 N 是字符串的长度。
• 空间复杂度：使用了一个二维数组 isPalindrome 和一个一维数组 minCuts，因此空间复杂度为 O(N^2)。

示例和测试

我们可以使用以下代码进行测试：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        PalindromePartitioningII solution = new PalindromePartitioningII();
        String s = "aab";

        int minCuts = solution.minCut(s);
        System.out.println("最小切割次数: " + minCuts);
    }
}

总结

解决回文分割II问题需要使用动态规划的方法，通过构建一个二维数组 isPalindrome 来判断子串是否是回文串，并使用一个一维数组 minCuts 来记录最小切割次数。这个问题的时间复杂度是 O(N^2)，空间复杂度是 O(N^2)。理解动态规划的应用对于解决类似的问题非常有帮助。