Java算法题-解析 "最小路径和" 算法问题

题目：

给定一个包含非负整数的 m x n 网格，从左上角到右下角的最小路径和是多少？在每个格子只能向下或者向右移动一步。

引言：

"最小路径和" 是一个关于动态规划和路径计算的问题。解决这个问题需要对路径计算和动态规划有一定的理解，同时需要找到一种方法来逐步计算每个位置的最小路径和。通过解答这个问题，我们可以提升对动态规划和路径计算的考虑，同时也能拓展对二维数组问题的解决方案。

算法思路：

使用动态规划可以有效地解决这个问题。具体思路如下：

1. 创建一个与网格大小相同的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从左上角到达位置 (i, j) 的最小路径和。
2. 初始化第一行和第一列的路径和，因为在每个格子只能向下或向右移动，所以第一行和第一列的每个位置的路径和只与前一个位置有关。
3. 对于其他位置 (i, j)，可以从上方 (i-1, j) 或左方 (i, j-1) 移动一步到达。因此，dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])。
4. 最终，dp[m-1][n-1] 就是从左上角到达右下角的最小路径和。

代码实现：

以下是使用 Java 实现的 "最小路径和" 算法的示例代码：

public class MinimumPathSum {
    public int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];

        dp[0][0] = grid[0][0];

        // Initialize the first row
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            dp[0][i] = dp[0][i - 1] + grid[0][i];
        }

        // Initialize the first column
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
        }

        // Calculate minimum path sum for other positions
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = grid[i][j] + Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }

        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

算法分析：

• 时间复杂度：填充二维数组需要遍历每个位置一次，所以时间复杂度为 O(m * n)，其中 m 和 n 是网格的维度。
• 空间复杂度：需要一个二维数组来存储最小路径和，所以空间复杂度为 O(m * n)。

示例和测试：

假设给定网格如下：

[
 [1,3,1],
 [1,5,1],
 [4,2,1]
]

根据算法，从左上角到达右下角的最小路径和为 7。

我们可以使用以下代码进行测试：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        MinimumPathSum solution = new MinimumPathSum();
        int[][] grid = {
            {1,3,1},
            {1,5,1},
            {4,2,1}
        };
        int minSum = solution.minPathSum(grid);

        System.out.println("Minimum path sum: " + minSum);
    }
}

总结：

"最小路径和" 算法题要求计算从左上角到达右下角的最小路径和，是一个关于动态规划和路径计算的问题。通过实现这个算法，我们可以提升对动态规划和路径计算的考虑，同时也能拓展对二维数组问题的解决方案。这个问题强调了如何使用动态规划来计算每个位置的最小路径和。