Java算法题-解析 "不同路径" 算法问题

题目：

一个机器人位于一个 m x n 的网格的左上角（起始点在下图中标记为 "Start"）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 "Finish"）。问总共有多少条不同的路径？

引言：

"不同路径" 是一个关于动态规划和组合数学的问题。解决这个问题需要对路径计数和动态规划有一定的理解，同时需要找到一种方法来逐步计算不同位置的路径数。通过解答这个问题，我们可以提升对动态规划和路径计数的考虑，同时也能拓展对数学问题的解决方案。

算法思路：

我们可以使用动态规划来解决这个问题。具体思路如下：

1. 创建一个 m x n 的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从起始点到达位置 (i, j) 的不同路径数。
2. 初始化第一行和第一列的路径数，因为机器人只能向下或向右移动，所以第一行和第一列的所有位置只有一条路径。
3. 对于其他位置 (i, j)，可以从上方 (i-1, j) 或左方 (i, j-1) 移动一步到达。因此，dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
4. 最终，dp[m-1][n-1] 就是从起始点到达终点的不同路径数。

代码实现：

以下是使用 Java 实现的 "不同路径" 算法的示例代码：

public class UniquePaths {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];

        // Initialize the first row and the first column
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            dp[0][j] = 1;
        }

        // Calculate paths for other positions
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }

        return dp[m - 1][n - 1];
    }
}

算法分析：

• 时间复杂度：填充二维数组需要遍历每个位置一次，所以时间复杂度为 O(m * n)。
• 空间复杂度：需要一个二维数组来存储路径数，所以空间复杂度为 O(m * n)。

示例和测试：

假设给定 m = 3 和 n = 7，根据算法，从起始点到达终点的不同路径数为 28。

我们可以使用以下代码进行测试：

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        UniquePaths solution = new UniquePaths();
        int m = 3, n = 7;
        int paths = solution.uniquePaths(m, n);

        System.out.println("Number of unique paths: " + paths);
    }
}

总结：

"不同路径" 算法题要求计算从起始点到达终点的不同路径数，是一个关于动态规划和组合数学的问题。通过实现这个算法，我们可以提升对动态规划和路径计数的考虑，同时也能拓展对数学问题的解决方案。这个问题强调了如何使用动态规划来计算不同位置的路径数。